TRANSFORMACIONS EN EL PLA

 

Hem estudiat dues classes de transformacions del pla: els moviments i les homotècies.

ISOMETRIES

les isometries també s'anomenen moviments o simetries, es caracteritzen per moure els objectes plans sense deformarlos, conservant les distàncies i els angles.

Per estudiar les isometries, podem experimentar utilitzant paper retallat: podem retallar una plantilla de la figura dibuixada, de manera que tenim la figura fixe en el seu lloc de partida (el primer dibuix) i movem la plantilla per poder comparar i veure cada punt imatge on ha anat a parar en relació al punt de partida.

Hi ha tres tipus principals de moviments en el pla:

a) Les translacions, que desplacen els objectes segons un vector. La translació de vector nul=(0,0) no fa cap moviment: és la identitat.

b) Els girs, que giren els objectes un cert angle, entorn d'un pun. El gir d'angle 0º no fa cap moviment: és la identitat.

El gir d'angle 180º és un cas especial, i s'anomena simetria central.

c) Les simetries axials, que voltegen els objectes entorn d'un eix, canviant la cara de l'objecte.

Per aplicar una translació o un gir no cal aixecar la figura del pla. En canvi per aplicar una simetria axial hem de voltejar l'objecte, com quan girem una truita, necessitem aixecar-lo del pla i la seva imatge queda amb les cares intercanviades. Això ho podem observar treballant amb paper, pintant les dues cares de la plantilla amb colors diferents.

HOMOTÈCIES

Les homotècies amb centre en un punt i raó k, dilaten o contrauen els objectes tranformant-los en un objecte semblant k vegades major (si k>1) o k vegades menor (si k<1). La homptècia de raó k=1 no fa cap transformació: és la identitat.

PUNTS I RECTES FIXES

Hem vist que podem reconèixer el tipus de moviment pel seu nombre de punts fixos, rectes fixes i rectes de punts fixes.

COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS

Compondre dos moviments consiteix en aplicar successivament els dos moviments, primer l'un i després l'altre. El resultat és també un moviment. Hem vist que al compondre dues translacions obtenim una translació. Al compondre dos girs obtenim un gir i al compondre dues simetries el resultat pot ser una translació (si els eixos són paral·leles) o un gir (si els eixos són secants).

Composant un simetria axial amb ella mateixa dues vegades, s'obté la identitat. El mateix passa composant dues vegades una simetria central amb ella mateixa.

SIMETRIES D'UN OBJECTE

Hem estudiat el conjunt dels moviments que deixen invariant una figura plana, amb dos exemples: un triangle equilàter i un estel de sis puntes. Hem investigat quins són els moviments que els deixen invariants i com es composen aquests moviments entre ells i hem fet les taules de la composició, observant els patrons de simetria que en resulten. Ens hem adonat que l'important no és el nombre de simetries d'una figura, si no la manera com interactuen entre elles.

En el cas del triangle, hem vist que per als girs i les simetries importa l'ordre amb què els composem perquè si canviem l'ordre el resultat obtingut és diferent. Direm que les simetries d'un triangle no conmuten.

En el cas de l'estel, totes les seves simetries són girs, i interactuen sense importar l'ordre. Direm que les simetries d'aquest estel conmuten

Això ens fa adonar que, tot i tenir el mateix nombre de simetries, les dues figures estudiades són essencialment objectes simètrics diferents.

Referències

Marcus du Sautoy, Simetria un viaje por los patrones de la naturaleza, Acantilado, Barcelona 2009 - Extracte del llibre: http://www.acantilado.es/cont/catalogo/docsPot/Simetria_extracto.pdf (abril 2011)

Antonio Mora - La simetria - http://jmora7.com/Mosaicos/5700mapa.htm (abril 2011).

Manuel Sada - Movimientos i transformaciones en el plano - http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/movimientos.htm (abril 2011).

Antonio Gómez Tato: Mosaicos: de la Alhambra a la sartén antiadherente http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/Andaina/Ficheros/anda2004tato.pdf (abril 2011).

Pàgina oficial del programa GeoGebra: http://www.geogebra.org