APLICACIÓ DE LA PROPOSTA

En altres matèries la reconstrucció estructurada dels continguts serà més complexa. Aquí simplement volem aconseguir la comprensió de les nocions, per un costat, i la comprensió de les raons que condueixen a determinar el càlcul d'aquestes nocions, per un altre costat. Una manera d'aconseguir la comprensió d'aquest càlcul serà forçant els alumnes a construir-lo per si mateixos, a la manera de l'exemple que hem vist a l'apartat 2 de la part I del treball, en el text de Plató en el qual Sòcrates aconseguia que Escíclides, que no sabia matemàtiques, arribés a formular la relació entre l'àrea d'un quadrat que tingués per costat la hipotenusa d'un triangle rectangle i l'àrea d'un quadrat que tingués per costats els catets del mateix triangle rectangle. No serà necessari que els alumnes efectuïn construeixin el càlcul seguint aquest model socràtic, però sí que siguin capaços de reconstruir el raonament que justifica el càlcul.

Així, seguint amb l'esquema en què hem presentat la proposta, podem establir de manera simplificada els objectius com segueix.

Comprensió

PRIMER
Comprensió de les nocions en qüestió.

La noció de m.c.d. té com a eix central la noció de 'divisor'. La de m.c.m. té com a eix central la noció de 'múltiple'. Totes dues nocions s'han treballat suficientment a l'ensenyament primari, de manera que allò que cal és observar la noció de 'divisor comú', o de 'múltiple comú', en primer lloc, i finalment la de 'màxim' i 'mínim'. La introducció progressiva del terme no és fútil. Al capdavall no podem comprendre un contingut complex si no comprenem cadascuna de les seves parts.

Pel que fa a les nocions d'àrees, la majoria de manuals introdueixen la noció dividint una superfície regular en parts regulars, normalment quadrats, i considerant cadascun dels costats dels quadrats com una unitat de mesura. Així, una figura dividida en n quadrats d'un centímetre de costat té n centímetres quadrats. Aquesta presentació habitual facilita enormement la comprensió de la noció.

Els exercicis proposats són, és clar, merament orientatius. La seva finalitat és simplement accentuar l'objectiu que es persegueix en cada cas.

Observacions
Els exercicis 1 i 2 pretenen apuntar simplement les nocions de divisor i de múltiple comú, respectivament. Són múltiples les possibilitats d'exercicis en aquesta direcció. En qualsevol cas, és important entendre bé què és allò que persegueix la noció.

La majoria d'exercicis dels llibres de text sobre el càlcul d'àrees introdueixen de manera molt comprensiva la noció d'àrea, dividint figures regulars en quadrats regulars, com he apuntat més amunt.

Elaboració de l'estructura

SEGON

Aquest és el punt del procés menys considerat, en general, en els manuals, però, d'acord amb la present proposta, es tracta del punt més crucial i interessant. En el cas del m.c.d. i del m.c.m. la mera comprensió de les nocions ha de conduir a la construcció del càlcul. En el cas de les àrees, la qüestió és una mica més complexa. A partir del càlcul de l'àrea del quadrat és possible arribar a determinar com calcular les àrees d'altres figures (triangles, trapezis, etc.).

Allò que volem aconseguir és que els alumnes arribin a determinar el càlcul de les nocions de manera raonada. L'esquema que volem que acabin tenint en ment serà alguna cosa semblant al següent esquema.

I procedirem de manera similar per al cas del m.c.m.

En el cas de les àrees, considerem el cas del triangle.

Ja s'ha advertit, no és necessari que els alumnes arribin per si mateixos a formular la tesi principal, en aquest cas el càlcul necessari per obtenir el m.c.d. i l'àrea del triangle. Se'ls pot avançar el càlcul o donar-los indicis perquè l'obtinguin, això és, resseguir l'esquema anterior en una o altra direcció.

Els esquemes anteriors poden semblar simples. En realitat el contingut que pretenen justificar és simple per a un alumne de 1r d'ESO. En qualsevol cas, allò que no és simple és l'adquisició d'aquest hàbit justificatiu. Al capdavall aquest procediment és el que rau en la base de tot procés de comprensió.

Com abans, els exercicis no pretenen en absolut ser exhaustius, sinó merament indicatius.

Anàlisi de l'estructura

TERCER

Elaboració de la resposta

QUART

Un cop assimilades i acceptades les nocions, en matemàtiques és rellevant no únicament la seva aplicació en exercicis de càlcul concrets, sinó també, i sobretot, el reconeixement de les situacions en les quals la seva aplicació és necessària. És en aquest sentit que la comprensió de què estem fent quan duem a terme tal o tal càlcul es revela crucial, quan se'ns demana de reconèixer les situacions en les quals és necessari aplicar-lo. Per dir-ho d'una altra manera, el domini de la tècnica per dur a terme un càlcul no mostra la seva comprensió, sinó que la seva comprensió es manifesta en el reconeixement de la necessitat del seu ús. Aquest és l'objectiu últim, per tant, del procés que perseguim amb l'ensenyament de les nocions en qüestió.

Són múltiples i diversos els exercicis amb aquesta finalitat.