ACTIVIDADES SOBRE VECTORES EN EL PLANO

Manual de la aplicación

Autor: Jaume Bartrolí Brugués

ÍNDICE

1.- DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN - ÁREA CURRICULAR, ETAPA Y CICLO.

2.- GUÍA PARA EL PROFESORADO.

2.1.- Objetivos educativos que se pretenden.
2.2.- Actividades que se proponen.
2.3.- Aspectos curriculares en los que se incide.

3.- GUÍA PARA EL ALUMNADO.

4.- ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.

5.- MAPA DE LA WEB.

1.- DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN - ÁREA CURRICULAR, ETAPA Y CICLO.

Consta de cinco unidades didácticas con el objetivo de:

- Trabajar con vectores dados gráficamente (flechas).
- Trabajar con vectores utilizando coordenadas y componentes.
- Trabajar con módulos y argumentos de vectores (vectores en forma polar).
- Aplicar los vectores a resolver problemas de geometría plana.
- Introducir el producto escalar de dos vectores y hacer algunas aplicaciones.

Constituye un material puente entre la ESO y el Bachillerato pues es utilizable tanto en 4t. curso de ESO (por ejemplo, en un crédito variable para alumnos con intenciones de cursar un Bachillerato científico-tecnológico), como en el propio Bachillerato científico-tecnológico por hacer una introducción a los vectores.

• PROCESADOR Y SISTEMA OPERATIVO
  Este paquete de programas ha estado probado con resultado satisfactorio en ordenadores Pentium de 75 Mhz y 40 Mb de RAM con Sistema Operativo Windows 95. Se requiere por lo tanto un ordenador tipo PC estándar sin excesivos recursos de hardware. Obviamente, los resultados mejoran con ordenadores provistos de Hardware y Software actualizado.
• NAVEGADOR
  Es aconsejable utilizar como navegador la INTERNET EXPLORER (versión posterior a 5.00) y es necesario tener la máquina virtual JAVA instalada y activada.
• PANTALLA
  Se requiere pantalla configurada como mínimo a 800x600 píxeles y 256 colores y es aconsejable utilizar tamaño de texto mediano.
• RATÓN
  Para la realización de las actividades interactivas que se proponen es imprescindible disponer de un ratón que funcione correctamente. Todas las actividades interactivas exigen pulsar con el botón izquierdo del ratón sobre determinados puntos del plano, y desplazarlos manteniendo el botón pulsado. Cualquiera problema con el ratón, suciedad, mala configuración, etc., dificultará la realización de estas actividades, obtener el resultado deseado o trabajar con la precisión deseable.
• Estas actividades han estado realizadas con el Software de geometría interactivo Cinderella. Al empezar hace falta tener paciencia puesto que la carga de la primera actividad es generalmente lenta; puede tardar algunos minutos, dependiendo de la velocidad de transferencia desde el servidor. Una vez se ha cargado una actividad, la carga de los restantes es mucho más rápida y se realiza en segundos.

2.- GUÍA PARA EL PROFESORADO.

3.1.- Objetivos educativos que se pretenden.

Unidad didáctica 1: Trabajar con vectores dados gráficamente (flechas).

1 . Reconocer un vector como un objeto matemático que tiene módulo, dirección y sentido.
2 . Interpretar las representaciones gráficas habituales de los vectores (flechas, origen, extremo, etc...).
3 . Conocer formas de dar la dirección y el sentido.
4 . Identificar magnitudes vectoriales.
5 . Identificar vectores equipolentes.
6 . Trabajar con vectores libres.
7 . Sumar vectores dados gráficamente uniendo el extremo de un de ellos con el origen del otro cuando está concatenados.
8 . Sumar vectores utilizando la regla del paralelogramo.
9 . Ver la equivalencia de los dos procedimientos anteriores de suma de vectores.
10. Interpretar la suma de vectores en casos concretos: composición de traslaciones, suma de fuerzas, ...
11. Sumar más de dos vectores.
12. Conocer y utilizar las propiedades asociativa y conmutativa de la suma de vectores.
13. Restar vectores (como suma con el vector opuesto).
14. Identificar vectores nulos.
15. Conocer y utilizar las propiedades de la resta de vectores.
16. Multiplicar un escalar (número real) por un vector.
17. Interpretar geométricamente el producto de un escalar por un vector, especialmente si el escalar es negativo.
18. Identificar vectores opuestos.
19. Conocer y utilizar las propiedades del producto de un escalar por un vector.
20. Conocer y utilizar las propiedades conjuntas de suma, resto y producto por un escalar (distributividad).
21. Hacer pequeñas combinaciones lineales de vectores.

Unidad didáctica 2: Trabajar con vectores utilizando coordenadas y componentes.

1 . Calcular las componentes de un vector, dado gráficamente, respecto de unos ejes de coordenadas.
2 . Interpretar las componentes de un vector.
3 . Calcular las componentes d’un vector conocidas las coordenadas de su origen y de su extremo.
4 . Sumar y restar vectores utilizando componentes.
5 . Multiplicar un escalar por un vector utilizando componentes.
6 . Utilizar las propiedades de suma y resta de vectores y del producto de un escalar por un vector trabajando con componentes.
7 . Utilizar las propiedades conjuntas de suma, resto y producto por un escalar (distributividad) trabajando con componentes.
8 . Utilizar las operaciones con vectores por resolver problemas (de composición de traslaciones, suma de fuerzas,...). Identificar vectores asociados a traslaciones. Hacer traslaciones conocidos los vectores traslación que las definen.
9 . Trabajar con combinaciones lineales de vectores utilizando componentes.

Unidad didáctica 3: Módulos y argumentos. Vectores en forma polar.

1 . Obtener el módulo de un vector conocidas sus componentes.
2 . Conocer las propiedades del módulo de un vector.
3 . Conocer el concepto de argumento de un vector.
4 . Familiarizarse con vectores dados en forma polar (o módulo-argumento); saber dibujarlos.
5. Obtener vectores de módulo 1 (unitarios) a partir de otros vectores.
6 . Obtener las componentes de un vector conocidos su módulo y su argumento.
7 . Obtener el argumento de un vector conocidas sus componentes. Utilizar correctamente la calculadora por hacerlo en los cuatro casos: vector en el 1r., 2º., 3r. y 4º. cuadrantes.
8 . Practicar el paso de vectores de forma polar (módulo-argumento) a forma par de números (componentes) y recíprocamente.
9 . Utilizar la forma polar de los vectores por resolver problemas (composición de traslaciones, suma de fuerzas, ... ).

Unidad didáctica 4: Primeras aplicaciones de los vectores a la geometría

1. Obtener el punto medio de un segmento.
2. Obtener el simétrico de un punto respecto de otro punto.
3. Dividir un segmento en más de dos partes.
4. Obtener el baricentro de un triángulo.
5. Estudiar el paralelismo de vectores.
6. Estudiar la alineación de puntos.
7. Estudiar los paralelogramos.
8. Introducir las bases de los vectores del plano.
9. Estudiar la base canónica y las bases no canónicas de los vectores del plano.
10. Hacer ejercicios sencillos de cambios de base.

Unidad didáctica 5: Producto escalar de dos vectores

1. Hacer el producto escalar de dos vectores geométricamente (como producto de módulos por el coseno del ángulo que forman).
2. Interpretar geométricamente el producto escalar.
3. Estudiar las propiedades conmutativa, asociativa respecto los escalares y distributiva del producto escalar.
4. Hacer el producto escalar de vectores trabajando con componentes.
5. Reconocer la equivalencia de los dos procedimientos anteriores de obtención del producto escalar de dos vectores.
6. Identificar vectores perpendiculares y verificar condiciones de perpendicularidad de vectores.
7. Obtener el coseno del ángulo que forman dos vectores y el ángulo que forman dos vectores.
8. Proyectar un vector sobre otro.
9. Aplicar el producto escalar a problemas de geometría plana.

3.2.- Actividades que se proponen.

Se proponen 50 actividades agrupadas en cinco unidades didácticas. Los títulos, tanto de las unidades como de cada actividad, son explícitos de lo que se pretende en cada una de ellas:

Unidad didáctica 1: Trabajar con vectores dados gráficamente (flechas)

Actividad 1.1         Vectores: módulo, dirección y sentido
Actividad 1.2         Suma de vectores
Actividad 1.3         Conmutatividad de la suma. Regla del paralelogramo
Actividad 1.4         Asociatividad de la suma
Actividad 1.5         Conmutatividad de la suma de tres o más vectores
Actividad 1.6         Sumas y restas de vectores
Actividad 1.7         Producto de un escalar por un vector
Actividad 1.8         Combinaciones lineales de dos vectores
Actividad 1.9         Combinaciones lineales de tres vectores
Actividad 1.10       Distributividad del producto respecto de la suma

Unidad didáctica 2: Trabajar con vectores utilizando coordenadas y componentes.

Actividad 2.1         Componentes de un vector
Actividad 2.2         Suma de vectores utilizando componentes
Actividad 2.3         Regla del paralelogramo
Actividad 2.4         Asociatividad de la suma
Actividad 2.5         Conmutatividad de la suma
Actividad 2.6         Sumas y restas de vectores
Actividad 2.7         Vectores y traslaciones
Actividad 2.8         Vectores y fuerzas. Un ejemplo: un barco en un canal
Actividad 2.9         Productos por escalares y combinaciones lineales
Actividad 2.10       Más sobre combinaciones lineales

Unidad didáctica 3: Módulos y argumentos. Vectores en forma polar.

Actividad 3.1         Módulo de un vector
Actividad 3.2         Argumento de un vector
Actividad 3.3         Vectores en forma polar (o forma módulo-argumento)
Actividad 3.4         Módulo del producto de un escalar por un vector
Actividad 3.5         Argumento del producto de un escalar por un vector
Actividad 3.6         Módulo de la suma de a dos vectores
Actividad 3.7         Obtención de vectores de módulo 1 (unitarios)
Actividad 3.8         Obtención de las componentes conocidos el módulo y el argumento
Actividad 3.9         Obtención del módulo y del argumento conocidos las componentes
Actividad 3.10       Suma de dos vectores dados en forma polar

Unidad didáctica 4: Primeras aplicaciones de los vectores a la geometría

Actividad 4.1         Punto medio de un segmento
Actividad 4.2         Simétrico de un punto respecto de otro punto
Actividad 4.3         División de un segmento en más de dos partes
Actividad 4.4         Baricentro de un triángulo
Actividad 4.5         Paralelismo de vectores
Actividad 4.6         Alineación de puntos
Actividad 4.7         Sobre paralelogramos.
Actividad 4.8         Introducción a las bases: la base canónica
Actividad 4.9         Bases no canónicas
Actividad 4.10       Bases no canónicas y oblicuas

Unidad didáctica 5: Producto escalar de dos vectores

Actividad 5.1         Definición de producto escalar de a dos vectores
Actividad 5.2         Interpretación geométrica del producto escalar
Actividad 5.3         Propiedades: conmutatividad y asociatividad respecto de los escalares
Actividad 5.4         Propiedades: distributividad respecto de la suma
Actividad 5.5         Obtención del producto escalar a partir de las componentes
Actividad 5.6         Perpendicularidad de dos vectores
Actividad 5.7         Coseno del ángulo que forman dos vectores
Actividad 5.8         Proyección de un vector sobre otro
Actividad 5.9         Reencontramos un teorema atribuido a Tales de Mileto
Actividad 5.10       Reencontramos el teorema de Pitágoras

3.3.- Aspectos curriculares en los que se incide (normativa MEC).

En Educación Secundaria Obligatoria:

El REAL DECRETO 937/2001, de 3 de agosto (BOE 215 de 7 de septiembre de 2001), por el que se establece el currículo del Educación Secundaria Obligatoria, en el área de Matemáticas dispone para cuarto curso A y B:

Entre los contenidos:

"Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de puntos y vectores, distancia entre dos puntos, módulo de un vector"

Entre los criterios de evaluación:

"Establecer correspondencias analíticas entre coordenadas de puntos y vectores y utilizarlas para calcular la distancia entre dos puntos o el módulo de un vector.

El mismo REAL DECRETO en el área de Ciencias de la Naturaleza, Física y Química para cuarto curso, dispone:

Entre los contenidos:

"Carácter vectorial de las fuerzas"

En Bachillerato:

El REAL DECRETO 938/2001, de 3 de agosto (BOE 215 de 7 de septiembre de 2001), por el que se establece el currículo del Bachillerato, en el área de Matemáticas de las modalidades de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnología (Matemáticas I y II) dispone:

Entre los contenidos:

"Vectores en el plano. Operaciones: suma, resta y producto por un escalar. Módulo de un vector. "

Entre los criterios de evaluación:

"Utilizar el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental"
"Utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico tecnológico, e interpretar las soluciones de acuerdo con los enunciados."

3.- GUÍA PARA El ALUMNADO.

Cada actividad consta de tres partes:

a) Una pequeña explicación.

En ella se introducen conceptos y/o se explican determinados procedimientos (de una forma resumida). Cada explicación va acompañada de una figura que ilustra los conceptos introducidos y/o procedimientos explicados. El alumno deberá leer con atención estas explicaciones.

b) Una actividad interactiva.

Estas actividades interactivas incluyen un applet  realizado con el software de geometría interactivo Cinderella. Generalmente la realización de la actividad exige pulsar con el botón izquierdo del ratón sobre determinados puntos (puntos verdes), desplazarlos manteniendo el botón pulsado y obtener determinados resultados.

Todas las actividades interactivas van acompañadas de un hipervínculo que da la correspondiente solución.

Recordamos nuevamente que para la realización de las actividades interactivas que se proponen es imprescindible disponer de un ratón que funcione correctamente y que cualquiera problema con el ratón, suciedad, mala configuración, etc., dificultará la realización de estas actividades, obtener el resultado deseado o trabajar con la precisión deseable.

Respecto de la precisión del resultado, se tiene que rehuir el excesivo perfeccionismo. Por ejemplo, si al comprobar determinada propiedad, el alumno no acierta en poner el punto exactamente en el lugar dónde corresponde, pero hace una construcción que de forma aproximada muestra que la propiedad se verifica, se tiene que dar por hecha la comprobación.

c) Una propuesta de trabajo.

Son trabajos de consolidación de los conceptos/procedimientos adquiridos en la actividad y que el alumno tendrá que realizar en su libreta o cuaderno de trabajo. Puesto que está previsto que se trabaje con coordenadas y componentes, es conveniente que se trate de un cuaderno con hojas cuadriculadas.

Para la realización de estas actividades serán necesarios útiles elementales de dibujo: regla graduada, compás, escuadra, transportador de ángulos, ... También será necesario disponer de una calculadora científica (con funciones trigonométricas y trigonométricas inversas) para la unidad 3 (módulo-argumento).

Existe la posibilidad de obtener documentos Word especialmente preparados por hacer cada una de estas propuestas de trabajo. En cada propuesta de trabajo aparece un hipervículo que proporciona el documento y el alumno se lo puede imprimir.

4.- ACTIVIDADES De EVALUACIÓN

1.- A , B, C y D son puntos arbitrarios del plano. Simplifica las siguientes expresiones dando el resultado en la forma  (es decir , dando el origen y el extremo del resultado):

2.- Haz una construcción geométrica que ponga de manifiesto la conmutatividad de la suma de tres vectores.

3.- Dados los vectores y de la figura, dibuja los siguientes vectores:

4.- Si el vector  tiene módulo 4 (es decir , ), calcula el módulo de los siguientes vectores:

Módulo de 3 :          

Módulo de -4 :        

Módulo de ¾ :        

Módulo de -0,5 :       

Módulo de ½ :         

5.- La figura siguiente es un paralelogramo, y
                                                         

a) Expresa los siguientes vectores en función de y de : , , y .

b) Calcula de dos formas diferentes el vector suma .

6.- Dado del octágono regular de la figura
                                                                      

a) Dibuja el vector .

b) Trata de poner el vector anterior en la forma  (es decir , un escalar por un vector).

7.- Si =(4,-2), =(-1,5)  y = (0,3), calcula:

8.- Dado el triángulo de vértices A(4,2), B(10,5) y C (2,6), se pide:

a) Calcula

b) ¿Cuánto vale el perímetro del triángulo ABC?

c) ¿Es rectángulo el triángulo ABC? Justifica la respuesta.

9.- Escribe el vector= (-2,7) como combinación lineal de los dos vectores= (2,-1) y = (2,2).

13.- Dibuja de forma aproximada los siguientes cuatro vectores: 545º, 3120º, 6210º y 4-20º. Calcula después sus componentes.

14.- Calcula el módulo y el argumento de los vectores ,    y   sabiendo de que A (32), B(-1,-1) y
C (3,-1). Después pon los vectores ,    y   en forma polar.

15.- Andamos en línea recta 3 km en dirección E, después 4 km en dirección NE y finalmente 8 km en
dirección S.

b) Calcula cuántos km nos hemos alejado del punto de partida.

16.- En la siguiente tabla tienes varios vectores dados en dos formas. Completa los agujeros de la tabla.

17.- Si    y ,   calculad un vector    que verifique  . Dad el resultado en forma polar.

18.- Dados los puntos A(4,2), B(10,5), C(2,6) y D(x,9), se pide:

a) Calcula las coordenadas del punto medio del segmento BC.

b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de B respecto de A .

c) Calcula x para que los puntos B, C y D estén alineados.

d) Calcula x para que y sean paralelos.

e) Calcula x para que y tengan el mismo módulo.

19.- En la siguiente tabla tienes varios vectores dados en tres formas. Completa los agujeros de la tabla.

Forma: en componentes	Forma: en función de y ,	Forma: polar
(-2,5)
	6+ 2
		5270°
		1030°
	-4
(0,-1)
		5135°
	6
(3,5)
		1270°
	5(cos60º+ sen60º)

20.- Dados los vectores = (a ,5)   y = (8,4), calculad a para que:

a) sean paralelos.

b) sean perpendiculares.

c) verifiquen que · = 42 .

21.- Dados los vectores =(6,8) y = (-5,12) , calculad:

a) (2+)·(2-)

b) (+)²

c) el ángulo que forman los vectores y .

22.- Si ABCD es un paralelogramo a) Calculad el ángulo a que forman el lados AB y AD . b) Calculad el ángulo b que forman las diagonales .

23.- Calculad el producto escalar de los vectores y de la figura.

24.- Dados los puntos A (26), B(4,8), C(3,2) y D(7,1), se pide:

a) Calculad el ángulo que forman los vectores y

b) Calculad el ángulo que forman los vectores + y -.

5.- MAPA DE LA WEB