ACTIVITATS SOBRE VECTORS EN EL PLA

Manual de l'aplicació

Autor: Jaume Bartrolí Brugués

ÍNDEX

1.- DESCRIPCIÓ DE L’APLICACIÓ - ÀREA CURRICULAR, ETAPA I CICLE.

2.- GUIA PER AL PROFESSORAT.

2.1.- Objectius educatius que es pretenen.
2.2.- Activitats que es proposen.
2.3.- Aspectes curriculars en els que s'incideix.

3.- GUIA PER A L'ALUMNAT.

4.- ACTIVITATS D'AVALUACIÓ.

5.- MAPA DE LA WEB.

1.- DESCRIPCIÓ DE L’APLICACIÓ - ÀREA CURRICULAR, ETAPA I CICLE.

Consta de cinc unitats didàctiques amb l’objectiu de:

·    Treballar amb vectors donats gràficament (fletxes).
·    Treballar amb vectors utilitzant coordenades i components.
·    Treballar amb mòduls i arguments de vectors (vectors en forma polar).
·    Aplicar els vectors a resoldre problemes de geometria plana.
·    Introduir el producte escalar de dos vectors i fer-ne algunes aplicacions.

Constitueix un material pont entre l'ESO i el Batxillerat doncs és utilitzable tant en 4t. curs d'ESO (per exemple, en un crèdit variable per a alumnes amb intencions de cursar un Batxillerat científic-tecnològic), com en el propi Batxillerat científic-tecnològic per fer una introducció als vectors.

· PROCESSADOR I SISTEMA OPERATIU
Aquest paquet de programes ha estat provat amb resultat satisfactori en ordinadors Pentium de 75 Mh i 40 Mb de RAM amb Sistema Operatiu Windows 95. Es requereix per tant un ordinador tipus PC estàndard sense excessius recursos de hardware. Òbviament, els resultats milloren amb ordinadors proveïts de Hardware i Software actualitzat.

· NAVEGADOR
És aconsellable utilitzar com a navegador l'INTERNET EXPLORER (versió posterior a 5.00) i és necessari tenir la màquina virtual JAVA instal·lada i activada.

· PANTALLA
Es requereix pantalla configurada com a mínim a 800x600 píxels i 256 colors i és aconsellable utilitzar grandària de text mitjana.

· RATOLÍ
Per a la realització de les activitats interactives que es proposen és imprescindible disposar d'un ratolí que funcioni correctament. Totes les activitats interactives exigeixen polsar amb el botó esquerre del ratolí sobre determinats punts del pla, i desplaçar-los mantenint el botó polsat. Qualsevol problema amb el ratolí, brutícia, mala configuració, etc., dificultarà la realització d'aquestes activitats, obtenir el resultat desitjat o treballar amb la precisió desitjable.

· Aquestes activitats han estat realitzades amb el Software de geometria interactiu Cinderella. Al començar cal tenir paciència ja que la càrrega de la primera activitat és generalment lenta; pot tardar alguns minuts, depenent de la velocitat de transferència des del servidor. Una vegada s'ha carregat una activitat, la càrrega dels restants és molt més ràpida i es realitza en segons.

2.- GUIA PER AL PROFESSORAT.

3.1.- Objectius educatius que es pretenen.

Unitat didàctica 1: Treballar amb vectors donats gràficament (fletxes).

1. Reconèixer un vector com a un objecte matemàtic que té mòdul, direcció i sentit.
2. Interpretar les representacions gràfiques habituals dels vectors (fletxes, origen, extrem, etc...).
3. Conèixer formes de donar la direcció i el sentit.
4. Identificar magnituds vectorials.
5. Identificar vectors equipolents.
6. Treballar amb vectors lliures.
7. Sumar vectors donats gràficament unint l'origen d'un d'ells amb l'extrem de l'altre quan estan concatenats.
8. Sumar vectors utilitzant la regla del paral·lelogram.
9. Veure l'equivalència dels dos procediments anteriors de suma de vectors.
10. Interpretar la suma de vectors en casos concrets: composició de translacions, suma de forces, ...
11. Sumar més de dos vectors.
12. Conèixer i utilitzar les propietats associativa i commutativa de la suma de vectors.
13. Restar vectors (com a suma amb l'oposat).
14. Identificar vectors nuls.
15. Conèixer i utilitzar les propietats de la diferència de vectors.
16. Multiplicar un escalar (nombre real) per un vector.
17. Interpretar geomètricament el producte d'un escalar per un vector, especialment si l'escalar és negatiu.
18. Identificar vectors oposats.
19. Conèixer i utilitzar les propietats del producte d'un escalar per un vector.
20. Conèixer i utilitzar les propietats conjuntes de suma, resta i producte per un escalar (distributivitat).
21. Fer petites combinacions lineals de vectors.

Unitat didàctica 2: Treballar amb vectors utilitzant coordenades i components.

1. Calcular els components d'un vector, donat gràficament, respecte d'uns eixos de coordenades.
2. Interpretar els components d'un vector.
3. Calcular els components d’un vector conegudes les coordenades del seu origen i del seu extrem.
4. Sumar i restar vectors utilitzant components.
5. Multiplicar un escalar per un vector utilitzant components.
6. Utilitzar les propietats de suma i resta de vectors i del producte d'un escalar per un vector treballant amb components.
7. Utilitzar les propietats conjuntes de suma, resta i producte per un escalar (distributivitat) treballant amb components.
8. Utilitzar les operacions amb vectors per resoldre problemes (de composició de translacions, suma de forces,...). Identificar vectors associats a translacions. Fer translacions coneguts els vectors translació que les defineixen.
9. Treballar amb combinacions lineals de vectors utilitzant components.

Unitat didàctica 3: Mòduls i arguments. Vectors en forma polar.

1. Obtenir el mòdul d'un vector coneguts els seus components.
2. Conèixer les propietats del mòdul d'un vector.
3. Conèixer el concepte d'argument d'un vector.
4. Familiaritzar-se amb vectors donats en forma polar (o mòdul-argument) i saber-los dibuixar.
5. Obtenir vectors de mòdul 1 (unitaris) a partir d'altres vectors.
6. Obtenir els components d'un vector coneguts el seu mòdul i el seu argument.
7. Obtenir l'argument d'un vector coneguts els seus components. Utilitzar correctament la calculadora per fer-ho en els quatre casos: vector en el 1r., 2n., 3r. i 4t. quadrants.
8. Practicar el pas de vectors de forma polar (mòdul-argument) a forma parell de números (components) i recíprocament.
9. Utilitzar la forma polar dels vectors per resoldre problemes (de composició de translacions, suma de forces, ... ).

Unitat didàctica 4: Primeres aplicacions dels vectors a la geometria

1. Obtenir el punt mitjà d'un segment.
2. Obtenir el simètric d'un punt respecte d'un altre punt.
3. Dividir un segment en més de dues parts.
4. Obtenir el baricentre d'un triangle.
5. Estudiar el paral·lelisme de vectors.
6. Estudiar l'alineació de punts.
7. Estudiar els paral·lelograms.
8. Introduir les bases dels vectors del pla.
9. Estudiar la base canònica i les bases no canòniques dels vectors del pla.
10. Fer exercicis senzills de canvis de base.

Unitat didàctica 5: Producte escalar de dos vectors

1. Fer el producte escalar de dos vectors geomètricament (com a producte de mòduls pel cosinus de l'angle que formen).
2. Interpretar geomètricament el producte escalar.
3. Estudiar les propietats commutativa, associativa respecte els escalars i distributiva del producte escalar.
4. Fer el producte escalar de vectors treballant amb components.
5. Reconèixer l'equivalència dels dos procediments anteriors d'obtenció del producte escalar de dos vectors.
6. Identificar vectors perpendiculars i verificar condicions de perpendicularitat de vectors.
7. Obtenir el cosinus de l'angle que formen dos vectors y l'angle que formen dos vectors.
8. Projectar un vector sobre un altre.
9. Aplicar el producte escalar a resoldre problemes de geometria plana.

3.2.- Activitats que es proposen.

Es proposen 50 activitats agrupades en cinc unitats didàctiques. Els títols, tant de les unitats com de cada activitat, són explícits del que es pretén en cada una d'elles:

Unitat didàctica 1: Treballar amb vectors donats gràficament (fletxes).

Activitat 1.1         Vectors: mòdul, direcció i sentit.
Activitat 1.2         Suma de vectors.
Activitat 1.3         Commutativitat de la suma. Regla del paral·lelogram.
Activitat 1.4         Associativitat de la suma.
Activitat 1.5         Commutativitat de la suma de tres o més vectors.
Activitat 1.6         Sumes i restes de vectors.
Activitat 1.7         Producte d'un escalar per un vector.
Activitat 1.8         Combinacions lineals de dos vectors.
Activitat 1.9         Combinacions lineals de tres vectors.
Activitat 1.10        Distributivitat del producte respecte de la suma.

Unitat didàctica 2: Treballar amb vectors utilitzant coordenades i components.

Activitat 2.1         Components d'un vector.
Activitat 2.2         Suma de vectors utilitzant components.
Activitat 2.3         Regla del paral·lelogram.
Activitat 2.4         Associativitat de la suma.
Activitat 2.5         Commutativitat de la suma.
Activitat 2.6         Sumes i restes de vectors.
Activitat 2.7         Vectors i translacions.
Activitat 2.8         Vectors i forces. Un exemple: un vaixell en un canal.
Activitat 2.9         Productes per escalars i combinacions lineals.
Activitat 2.10        Més sobre combinacions lineals.

Unitat didàctica 3: Mòduls i arguments. Vectors en forma polar.

Activitat 3.1         Mòdul d'un vector.
Activitat 3.2         Argument d'un vector.
Activitat 3.3         Vectors en forma polar (o en forma mòdul-argument).
Activitat 3.4         Mòdul del producte d'un escalar per un vector.
Activitat 3.5         Argument del producte d'un escalar per un vector.
Activitat 3.6         Mòdul de la suma de dos vectors.
Activitat 3.7         Obtenció de vectors de mòdul 1 (unitaris).
Activitat 3.8         Obtenció dels components coneguts el mòdul i l'argument.
Activitat 3.9         Obtenció del mòdul i de l'argument coneguts els components.
Activitat 3.10        Suma de dos vectors donats en forma polar.

Unitat didàctica 4: Primeres aplicacions dels vectors a la geometria.

Activitat 4.1         Punt mitjà d'un segment.
Activitat 4.2         Simètric d'un punt respecte d'un altre punt.
Activitat 4.3         Divisió d'un segment en més de dues parts.
Activitat 4.4         Baricentre d'un triangle.
Activitat 4.5         Paral·lelisme de vectors.
Activitat 4.6         Alineació de punts.
Activitat 4.7         Sobre paral·lelograms.
Activitat 4.8         Introducció a les bases: la base canònica.
Activitat 4.9         Bases no canòniques.
Activitat 4.10       Bases no canòniques i obliqües.

Unitat didàctica 5: Producte escalar de dos vectors.

Activitat 5.1         Definició de producte escalar de dos vectors.
Activitat 5.2         Interpretació geomètrica del producte escalar.
Activitat 5.3         Propietats: commutativitat i associativitat respecte els escalars.
Activitat 5.4         Propietats: distributivitat respecte de la suma.
Activitat 5.5         Obtenció del producte escalar a partir dels components.
Activitat 5.6         Perpendicularitat de dos vectors.
Activitat 5.7         Cosinus de l'angle que formen dos vectors.
Activitat 5.8         Projecció d'un vector sobre un altre.
Activitat 5.9         Retrobem un teorema atribuït a Tales de Milet.
Activitat 5.10       Retrobem el teorema de Pitàgoras.

3.3.- Aspectes curriculars en els que s'incideix.

El DECRET 182/2002, de 25 de juny, pel qual es reordenen els ensenyaments de batxillerat (modifica el Decret 82/1996, de 5 de març), estableix per a la matèria matemàtiques (modalitats de ciències de la naturalesa i de la salut i tecnologia) els següents continguts/objectius relacionats amb els vectors:

a) Entre els fets, conceptes i sistemes conceptuals:

4.  Pla i espai vectorial (V2 i V3).

4.1 Vectors al pla i a l’espai ordinari. Els conjunts V2 i V3.
4.2 Suma, diferència, producte per un nombre i combinacions lineals de vectors: interpretació i propietats.
4.3 Dependència i independència de vectors.
4.4 Bases al pla i a l’espai ordinari. Components d’un vector en una base donada.
4.5 Matriu de components d’un conjunt de vectors en una base donada. Rang d’una matriu.
4.6 El conjunt de vectors del pla i R2, el conjunt de vectors de l’espai i R3.
4.7 Mòdul i argument d’un vector. Angle entre vectors.
4.8 El producte escalar de dos vectors. Propietats. Interpretació geomètrica.

b) Entre els procediments:

6. Càlcul vectorial (V2 i V3).

6.1 Operacions amb vectors donats geomètricament i a partir de els seus components (pla o espai): suma, diferència, producte per un nombre i combinacions lineals.
6.2 Càlcul dels components de vectors del pla, a partir del mòdul i l’argument i recíprocament.
6.3 Determinació de conjunts independents de vectors. Identificació de bases a V2 i V3.
6.4 Càlcul del producte escalar de dos vectors.

c) Entre els objectius terminals:

25. Identificar i representar vectors al pla donats gràficament o a través de els seus components i reconèixer la seva dependència o independència de manera intuïtiva. A l’espai, identificar vectors donats en els seus components i reconèixer la seva dependència o independència, tant a nivell intuïtiu com a partir del càlcul del rang de la matriu de components.

27. Utilitzar els vectors per representar i resoldre situacions plantejades en l’àmbit de la física o de la tecnologia. En particular, conèixer els conceptes de mòdul i argument d’un vector del pla i la seva relació amb els components del vector en una base donada.

3.- GUIA PER A L'ALUMNAT.

Cada activitat consta de tres parts:

a) Una petita explicació.

En ella s'introdueixen conceptes i/o s'expliquen determinats procediments (d'una forma resumida). Cada explicació va acompanyada d'una figura que il·lustra els conceptes introduïts i/o procediments explicats. L'alumne haurà de llegir amb atenció aquestes explicacions.

b) Una activitat interactiva.

Aquestes activitats interactives inclouen un applet realitzat amb el software de geometria interactiu Cinderella. Generalment la realització de l'activitat exigeix polsar amb el botó esquerre del ratolí sobre determinats punts (punts verds), desplaçar-los mantenint el botó polsat i obtenir determinats resultats.

Totes les activitats interactives van acompanyades d'un hipervincle que dóna la corresponent solució.

Recordem novament que per a la realització de les activitats interactives que es proposen és imprescindible disposar d'un ratolí que funcioni correctament i que qualsevol problema amb el ratolí, brutícia, mala configuració, etc., dificultarà la realització d'aquestes activitats, obtenir el resultat desitjat o treballar amb la precisió desitjable.

Respecte de la precisió del resultat, s'ha de defugir l'excessiu perfeccionisme. Per exemple, si en comprovar determinada propietat, l'alumne no encerta en posar el punt exactament en el lloc on correspon, però fa una construcció que de forma aproximada mostra que la propietat es verifica, s'ha de donar per feta la comprovació.

c) Una proposta de treball.

Són treballs de consolidació dels conceptes/procediments adquirits en l'activitat i que l'alumne haurà de realitzar en la seva llibreta o quadern de treball. Com que està previst que es treballi amb coordenades i components, és convenient que es tracti d'un quadern amb fulles quadriculades.

Per a la realització d'aquestes activitats seran necessaris útils elementals de dibuix: regla graduada, compàs, escaire, transportador d'angles, ... També serà necessari disposar d'una calculadora científica (amb funcions trigonomètriques i trigonomètriques inverses) per a les unitats 3 i 5(mòdul-argument i producte escalar).

Hi ha la possibilitat d'obtenir documents Word especialment preparats per fer cadascuna d'aquestes propostes de treball. A cada proposta de treball apareix un hiperenllaç que proporciona el document i l'alumne se'l pot imprimir.

4.- ACTIVITATS D'AVALUACIÓ

1.- A, B, C i D són punts arbitraris del pla. Simplifica les següents expressions donant el resultat en la forma  (és a dir, donant l'origen i l'extrem del resultat):

2.- Fes una construcció geomètrica que posi de manifest la commutativitat de la suma de tres vectors.

3.- Donats els vectors i de la figura, dibuixa els següents vectors:

4.- Si el vector  té mòdul 4 (és a dir, ) calcula el mòdul dels següents vectors:

Mòdul de 3 :          

Mòdul de -4 :          

Mòdul de ¾ :          

Mòdul de -0,5 :      

Mòdul de ½ :          

5.- La figura següent és un paral·lelogram, i
                                                         

a) Expressa els següents vectors en funció de  i de : , , i .

b) Calcula de dues formes diferents el vector suma .

6.- Donat l’octàgon regular de la figura
                                                                      

a) Dibuixa el vector

b) Tracta de posar el vector anterior en la forma  (és a dir, un escalar por un vector).

7.- Si =(4,-2), =(-1,5) i =(0,3), calcula:

8.- Donat el triangle de vèrtexs A(4,2), B(10,5) i C(2,6), es demana:

a) Calcula

b) Quant val el perímetre del triangle ABC?

c) És rectangle el triangle ABC? Justifica la resposta.

9.- Escriu el vector= (-2,7) com a combinació lineal dels dos vectors= (2,-1) i= (2,2).

13.- Dibuixa de forma aproximada els següents quatre vectors: 545º, 3120º, 6210º i 4-20º. Calcula després els seus components.

14.- Calcula el mòdul i l’argument dels vectors ,    i   sabent que A(3,2), B(-1,-1) i C(3,-1). Després posa els vectors ,    i    en forma polar.

15.- Caminem en línia recta 3 km en direcció E, després 4 km en direcció NE i finalment 8 km en direcció S.

b) Calcula quants km ens hem allunyat del punt de partida.

16.- A la següent taula tens diversos vectors donats en dues formes. Completa els forats de la taula.

17.- Si    i  , calculeu un vector    que verifiqui  . Doneu el resultat en forma polar.

18.- Donats els punts A(4,2), B(10,5), C(2,6) i D(x,9), es demana:

a) Calcula les coordenades del punt mitjà del segment BC.

b) Calcula les coordenades del punt simètric de B respecte de A.

c) Calcula x perquè els punts B, C i D estiguin alineats.

d) Calcula x perquè i siguin paral·lels.

e) Calcula x perquè i tinguin el mateix mòdul.

19.- A la següent taula tens diversos vectors donats en tres formes. Completa els forats de la taula.

Forma: en components	Forma: en funció de i	Forma: polar
(-2,5)
	6+ 2
		5270°
		1030°
	-4
(0,-1)
		5135°
	6
(3,5)
		1270°
	5(cos60º+ sin60º)

20.- Donats els vectors = (a,5) i = (8,4), calculeu a perquè:

a) siguin paral·lels.

b) siguin perpendiculars.

c) verifiquin que · = 42 .

21.- Donats els vectors =(6,8) i =(-5,12) , calculeu:

a) (2+)·(2-) .

b) (+)² .

c) l'angle que formen els vectorsi.

22.- Si ABCD és un paral·lelogram a) Calculeu l'angle a que formen el costats AB i AD . b) Calculeu l'angle b que formen les diagonals .

23.- Calculeu el producte escalar dels vectors i de la figura.

24.- Donats els punts A(2,6), B(4,8), C(3,2) i D(7,1), es demana:

a) Calculeu l'angle que formen els vectors i .

b) Calculeu l'angle que formen els vectors + i -.

5.- MAPA DE LA WEB